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如圖,平面ABCD⊥平面BCE,四邊形ABCD為矩形,BC=CE,點F為CE的中點.
(Ⅰ)證明:AE∥平面BDF;
(Ⅱ)點M為CD上的任意一點,在線段AE上是否存在點P,使得PM⊥BE?若存在,確定點P的位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.
考點:直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系
專題:
分析:(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接OF,利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE,再由線面平行的判定定理可證;
(Ⅱ)當P為AE中點時,有PM⊥BE;取BE中點H,連接DP,PH,CH,結合三角形的中位線性質以及面面平行的性質進行推理得到BE⊥平面DPHC即可.
解答: (Ⅰ)證明:連接AC交BD于O,連接OF,如圖

在△ACE中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴O為AC的中點,又F為EC的中點,
∴OF∥AE,又OF?平面BDF,AE?平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(Ⅱ)解:當P為AE中點時,有PM⊥BE,
證明如下:取BE中點H,連接DP,PH,CH,
如圖
∵P為AE的中點,H為BE的中點,
∴PH∥AB,又AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D四點共面.
∵平面ABCD∥平面BCE,CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE,又BE?平面BCE,
∴CD⊥BE∵BC=CE,H為BE的中點,
∴CH⊥BE,
∴BE⊥平面DPHC,又PM?平面DPHC,
∴BE⊥PM即PM⊥BE.
點評:本題考查了空間點線面的位置關系、線面平行和線面垂直的證明,考查了學生的空間想象能力、推理能力以及轉化的數學思想.
練習冊系列答案
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3
tan20°)=
 

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