Question

設f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1）且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域；
（2）求f（x）在區間[0，

3

2

]上的最大值和最小．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知

1+x＞0 3-x＞0

，從而解得定義域，再由f（1）=2求a；
（2）由（1）知，f（x）=log₂（1+x）（3-x），由x∈[0，

3

2

]知（1+x）（3-x）∈[3，4]，從而求最值．

解答： 解：（1）由題意知，

1+x＞0 3-x＞0

，
解得-1＜x＜3；
故f（x）的定義域為（-1，3）；
再由f（1）=2得，
log_a（1+1）+log_a（3-1）=2；
故a=2；
（2）f（x）=log₂（1+x）（3-x），
∵x∈[0，

3

2

]，
∴（1+x）（3-x）∈[3，4]，
故f（x）在區間[0，

3

2

]上的最大值為f（1）=2；
f（x）在區間[0，

3

2

]上的最小值為f（0）=log₂3．

點評：本題考查了對數函數與二次函數的性質應用，屬于基礎題．