Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，函數y=f（x）在區間[t，t+1]上的最大值為h（t），并求h（t）的最值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由二次函數的性質設f（x）=ax²+bx+1，從而求得f（x）=x²-x+1；再由對稱軸可得h（t）=

t2-t+1，t≤0 t2+t+1，t＞0

；從而求分段函數的最值．

解答： 解：由題意，設f（x）=ax²+bx+1，
則f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）
=2ax+a+b=2x；
故a=1，b=-1；
故f（x）=x²-x+1；
f（x）的圖象的對稱軸為x=

1

2

；
故當|t-

1

2

|≥|t+1-

1

2

|，即t≤0時，
h（t）=f（t）=t²-t+1；
當|t-

1

2

|＜|t+1-

1

2

|，即t＞0時，
h（t）=f（t+1）=t²+t+1；
故h（t）=

t2-t+1，t≤0 t2+t+1，t＞0

；
作函數圖象如下，

由圖可知，有最小值1，沒有最大值．

點評：本題考查了二次函數的性質與圖象的應用及分段函數的應用，屬于中檔題．