Question

自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵車路段．假設這三條路段堵車與否相互獨立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表所示．

	CD段	EF段	GH段
堵車概率
平均堵車時間 (單位：小時)		2	1

 

經調查發現，堵車概率在上變化，在上變化．

在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路政局為了估計段平均堵車時間，調查了100名走甲線路的司機，得到下表數據．

堵車時間（單位：小時）	頻數
[0,1]	8
(1, 2]	6
(2, 3]	38
(3, 4]	24
(4, 5]	24

 

（1）求段平均堵車時間的值；

（2）若只考慮所花汽油費的期望值大小，為了節約，求選擇走甲線路的概率．

 

Answer 1

（1）3；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查利用頻率分布表求平均數，相互獨立事件同時發生的概率，離散型隨機變量分布列，數學期望，幾何概型等基礎知識；考查運用統計、概率、數學期望等數學知識解決實際問題的能力，以及運算求解能力；考查數形結合數學思想方法.第一問，用總的堵車時間除以總人數100人，即得到平均堵車時間；第二問，利用獨立事件求出每種情況的概率，選擇甲路線說明甲需汽油費少，利用線性規劃化畫出區域圖，再利用幾何概型求概率；法二，分別求EF路段和GH路段的期望再相加求乙路線多花汽油費的期望.

試題解析：（1） 2分

3． 4分

（2）設走甲線路所花汽油費為元，

則． 5分

法一：設走乙線路多花的汽油費為元，∵段與段堵車與否相互獨立，

∴，

， 7分

． 8分

∴走乙線路所花的汽油費的數學期望為． 9分

依題意，選擇走甲線路應滿足 ， 10分

即，又，

（選擇走甲線路）． 13分

法二：在EF路段多花汽油費的數學期望是元， 6分

在GH路段多花汽油費的數學期望是元， 7分

因為EF、GH路段堵車與否相互獨立，

所以走乙路線多花汽油費的數學期望是元． 8分

以下解法同法一．

考點：利用頻率分布表求平均數，相互獨立事件同時發生的概率，離散型隨機變量分布列，數學期望，幾何概型.