Question

13．等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數，且a₃∈[3，5]．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=10，a₂為整數知，公差d為整數．由a₃=10+2d∈[3，5]，化為$-\frac{7}{2}$≤d$≤-\frac{5}{2}$，解得d=-3．即可得出．（2）${b_n}=\frac{1}{（13-3n）（10-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）$，利用“裂項求和方法”與數列的單調性即可得出．

解答 解：（1）由a₁=10，a₂為整數知，∴公差d為整數．
∵a₃=10+2d∈[3，5]，∴$-\frac{7}{2}$≤d$≤-\frac{5}{2}$，解得d=-3．
∴a₃=10-2×3=4．
{a_n}的通項公式為a_n=10-3（n-1）=13-3n．
（2）${b_n}=\frac{1}{（13-3n）（10-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）$，
于是${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{3}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）]$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{10}）=\frac{n}{10（10-3n）}$=$\frac{1}{10（\frac{10}{n}-3）}$，
n≥4時，T_n＜0．
n≤3時，T_n＞0，則n=3的時，取最大值$\frac{3}{10}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和方法”、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．