Question

如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，平面⊥平面，．

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）若點是線段的中點，請問在線段是否存在點，使得面？若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）（本小問只理科學生做）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明直線和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推論．(3)利用面面平行的性質．(4)利用面面垂直的性質．（Ⅱ）立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關系的探究，對條件和結論不完備的開放性問題的探究．解決這類問題時一般根據探索性問題的設問，假設其存在并探索出結論，然后在假設下進行推理，若得到合乎情理的結論就肯定假設，若得到矛盾就否定假設．（Ⅲ）由（Ⅰ）易知是二面角的平面角．

試題解析：（Ⅰ）因為四邊形為正方形，所以AA1 ⊥AC．

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，

且平面平面，

所以AA1⊥平面ABC． 4分（文6分）

（Ⅱ）當點是線段的中點時，有面．

連結交于點，連結．

因為點是中點，點是線段的中點，

所以．

又因為面，面，

所以面． 8分（文12分）

（Ⅲ）因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥．

又因為AC⊥，所以面．

所以面．

所以，．

所以是二面角的平面角．

易得．

所以二面角的平面角為． 12分

考點：線面垂直、線面平行、面面角