Question

6．已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a=2時，判斷函數f（x）的單調性；
（2）當a=4時，給出兩組直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出該切線方程．
（3）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}＞0$在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，利用導數即可判斷函數f（x）的單調性．
（2）a=4，先求導，再根據基本不等式得到f′（x）≥4$\sqrt{2}$-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線，存在3x-y+n=0這類直線的切線
（3）問題等價于y=g（x）=$\frac{{2x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+4}{{x}_{0}}$（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀，令$ϕ（x）={x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4lnx•{x_0}+x_0^3+4{x_0}-4ln{x_0}•{x_0}$，由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域是（0，+∞）．
∵f（x）=x²-4x+2lnx，
∴$f'（x）=2x-4+\frac{2}{x}=\frac{{2{x^2}-4x+2}}{x}=\frac{{2{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$
∵f'（x）＞0在定義域（0，+∞）內恒成立，
∴函數f（x）在（0，+∞）都是單調遞增．
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，
則$f'（x）=\frac{{2{x^2}-6x+4}}{x}$，
∵x＞0，
∴$f'（x）=2（x+\frac{2}{x}-3）≥4\sqrt{2}-6$．
∴曲線f（x）在定義域內的任意一點處的切線斜率都大于或等于$4\sqrt{2}-6$，
而$3∈[{4\sqrt{2}-6，+∞}]$，
∴曲線f（x）可以與3x-y+n=0中的一條直線相切，另一組直線無切線．
此時切線的斜率是3，對應的切線方程式y=3x-20+8ln2或$y=3x-\frac{17}{4}-4ln2$；
（3）由（2）得函數y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為
l：y=g（x）=$\frac{{2x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+4}{{x}_{0}}$（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀．
若函數f（x）=x²-6x+4lnx存在“類對稱點”P（x₀，f（x₀）），
則等價與當0＜x＜x₀時，f（x）＜g（x），當x＜x₀時，f（x）＞g（x）恒成立，
①當0＜x＜x₀時，f（x）＜g（x），恒成立，
等價于當0＜x＜x₀時，${x^2}-6x+4lnx＜\frac{{2{x^2}_0-6{x_0}+4}}{x_0}（x-{x_0}）+{x^2}_0-6{x_0}+4ln{x_0}$恒成立，
即當0＜x＜x₀時，${x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4{x_0}•lnx+{x^3}_0+4{x_0}-4{x_0}•ln{x_0}＜0$恒成立．
令$ϕ（x）={x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4lnx•{x_0}+x_0^3+4{x_0}-4ln{x_0}•{x_0}$，
則ϕ（x₀）=0，要使ϕ（x）＜0在0＜x＜x₀恒成立，只要ϕ（x）在（0，x₀）單調遞增即可．
又∵$ϕ'（x）=2{x_0}x-（2{x^2}_0+4）+\frac{{4{x_0}}}{x}=\frac{{2（x{\;}_0x-2）（x-{x_0}）}}{x}$，
∴${x_0}≤\frac{2}{x_0}$，即$0＜{x_0}≤\sqrt{2}$．
②同理當x＞x₀時，f（x）＞g（x）恒成立，${x_0}≥\sqrt{2}$，
∴${x_0}=\sqrt{2}$．
∴y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標是${x_0}=\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查類對稱點的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數性質的靈活運用．