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定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:
(ⅰ)對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立;
(ⅱ)f(-5)=-1;
(ⅲ)當(dāng)x1,x2∈[0,3]且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0.
則給出下列命題:
①f(2009)=-1;
②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù);
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根.
其中正確的命題為
 
.(填寫正確命題的序號)
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯
分析:由已知求出函數(shù)的周期為6,結(jié)合f(-5)=-1可求得f(2009)=-1;
由-12為周期及函數(shù)為偶函數(shù)求得直線x=-6是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;
由函數(shù)在[0,3]上為增函數(shù)及x=-6是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸可得y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù);
由函數(shù)的增減性、對稱性、奇偶性、周期及f(3)=0可得方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根.
解答: 解:由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可得,f(-3)=f(3),
∵f(x+6)=f(x)+f(3),
令x=-3可得,f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),
∴f(3)=0,
∴f(x+6)=f(x)+f(3)=f(x),即f(x+6)=f(x).
又f(-5)=-1.則
①f(2009)=f(334×6+5)=f(5)=f(-5)=-1,①正確;
②由(x+6)=f(x),可知6為函數(shù)的周期,則-12為函數(shù)的周期,
∴f(-12+x)=f(x)=f(-x),則x=
-12+x-x
2
=-6
為函數(shù)的對稱軸,②正確;
③由x1,x2∈[0,3]且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0可知函數(shù)在[0,3]上為增函數(shù),
則函數(shù)在[-6,-3]上為增函數(shù),又x=-6為對稱軸,則在[-9,-6]上為減函數(shù),③正確;
④∵f(3)=0,
∴f(-3)=0,f(9)=f(6+3)=0,f(-9)=0,結(jié)合函數(shù)的周期為6及函數(shù)的增減性可得方程f(x)=0在[-9,9]上僅有4個(gè)根,④正確.
故答案為:①②③④.
點(diǎn)評:本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了函數(shù)的性質(zhì),訓(xùn)練了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的用法,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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AB
AC
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A、8
B、6
C、
32
5
D、4

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1
3
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1
2
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