Question

17．在一次數學測驗后，班級學委王明對選答題的選題情況進行了統計，如下表：（單位：人）

	幾何證明選講	坐標系與參數方程	不等式選講	合計
男同學	12	4	6	22
女同學	0	8	12	20
合計	12	12	18	42

（Ⅰ）在統計結果中，如果把《幾何證明選講》和《坐標系與參數方程》稱為幾何類，把《不等式選講》稱為代數類，我們可以得到如下2×2列聯表：（單位：人）

	幾何類	代數類	總計
男同學	16	6	22
女同學	8	12	20
總計	24	18	42

根據以下列聯表，在犯錯誤不超過多少的情況下認為選做“幾何類”或“代數類”與性別有關．
（Ⅱ）在原統計結果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學中隨機選出7名同學進行座談．已知學委王明和兩名數學科代表三人都在選做《不等式選講》的同學中．
①求在這名班級學委被選中的條件下，兩名數學科代表也被選中的概率；
②記抽到數學科代表的人數為X，求X的分布列及數學期望E（X）．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據所給的列聯表得到求觀測值所用的數據，
把數據代入觀測值公式中計算觀測值，對照臨界值，即可得出結論；
（2）①令事件A為“這名學委被抽取到”；事件B為“兩名數學科代表被抽到”，
利用條件概率求得兩名數學科代表也被選中的概率，
或利用古典概型概率公式直接計算也可；
②記抽取到數學科代表的人數為X，由題X的可能值有0，1，2；
依次求出相應的概率分布列，再求數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）由表中數據得K²的觀測值
k=$\frac{42{×（16×12-8×6）}^{2}}{24×18×20×22}$=$\frac{252}{55}$≈4.582＞3.841，
所以，據此統計有95%的把握認為選做“幾何類”或“代數類”與性別有關；
（Ⅱ）由題可知在“不等式選講”的18位同學中，要選取3位同學．
①方法一：令事件A為“這名班級學委被抽到”；事件B為“兩名數學科代表被抽到”，
則P（A∩B）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{3×17×16}$，P（A）=$\frac{{C}_{17}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{6}$；
所以P（B|A）=$\frac{P（A∩B）}{P（A）}$=$\frac{6}{3×17×16}$=$\frac{1}{136}$；
方法二：令事件C為“在這名學委被抽到的條件下，兩名數學科代表也被抽到”，
則P（C）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{17}^{2}}$=$\frac{2}{17×16}$=$\frac{1}{136}$；
②由題知X的可能值為0，1，2．
依題意P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{35}{51}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{16}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{51}$；
從而X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{35}{51}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{1}{51}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{35}{51}$+1×$\frac{5}{17}$+2×$\frac{1}{51}$=$\frac{17}{51}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量及其分布列、獨立性檢驗的應用問題，是中檔題．