Question

9．已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0，由滿足：a₇=a₆+2a₅，可得q²=q+2，解得q=2．根據存在兩項a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，可得$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁，m+n=6．對m，n分類討論即可得出．

解答 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0，∵滿足：a₇=a₆+2a₅，∴q²=q+2，解得q=2．
∵存在兩項a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁，∴m+n=6．
m，n的取值分別為（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{1}{2}+\frac{4}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與性質、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．