Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為，離心率為．

(1)求橢圓的方程；

(2)設點是橢圓的右頂點，過點的直線與橢圓交于， 兩點，直線， 與直線分別交于， 兩點．求證：點在以為直徑的圓上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，設橢圓方程為 ，

則，解出，即可得到橢圓的方程；

（ 2）由（1）可得. 考慮直線不存在斜率時，可得.在以為直徑的圓上. 當直線存在斜率時，設方程為 ， 、.

由可得. 直線方程為，得 , 同理， . 求出，可證.即在以為直徑的圓上.

試題解析：

（1）由題意，設橢圓方程為 ，

則

得

所以橢圓方程為

（2）證明：由（Ⅰ）可得.

當直線不存在斜率時，可得

直線方程為，令得,

同理，得.

所以,

得.

所以,在以為直徑的圓上.

當直線存在斜率時，設方程為 ， 、.

由可得.

顯然,,

直線方程為，得 ,

同理， .

所以.

因為

所以

所以

所以, 在以為直徑的圓上.

綜上， 在以為直徑的圓上.