Question

【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四邊形BB1C1C為正方形，設AB1的中點為D，B1C∩BC1=E.

求證：（1）DE∥平面AA1C1C;

(2)BC1⊥平面AB1C.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意中的幾何關系可得：DE∥AC,結合線面平行的判斷定理可證得DE∥平面AA1C1C;

(2)由題意可得：AC⊥BC1, BC1⊥B1C,利用線面垂直的判斷定理可得BC1⊥平面AB1C.

試題解析：

證明:(1)因為四邊形BB1C1C為正方形,

所以E為B1C的中點,又D為AB1的中點,所以DE為△AB1C的中位線,所以DE∥AC,

又,所以DE∥平面AA1C1C;

(2)因為AA1⊥底面ABC,且ABC-A1B1C1為三棱柱,

所以CC1⊥底面ABC,又,所以CC1⊥AC,

又AC⊥BC,BC∩CC1=C, ,所以AC⊥平面,

又B ,所以AC⊥BC1,又四邊形BB1C1C為正方形,所以BC1⊥B1C,

又AC∩CB1=C, ,所以BC1⊥平面AB1C.