Question

橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l：y=kx-2（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點M，N滿足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，求k．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

．可得b=2，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，解得a²，即可得出橢圓的方程．
（2）如圖所示，把直線方程與橢圓方程聯立可得（1+3k²）x²-12kx=0．解出可得M，N的坐標．由于M，N滿足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，可得點P是線段MN的中點，AP⊥MN．
利用中點坐標公式、相互垂直的直線與斜率之間的關系即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

．
∴b=2，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，解得a²=12，c²=8．
∴橢圓的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）如圖所示，
聯立

y=kx-2 x2+3y2=12

，化為（1+3k²）x²-12kx=0．
解得

x=0 y=-2

，或

x= 12k 1+3k2 y= 6k2-2 1+3k2

，
取M（0，-2），N(

12k

1+3k2

，

6k2-2

1+3k2

)．
∵M，N滿足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，
∴點P是線段MN的中點，AP⊥MN．
∴P(

6k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)，
∴k_AP=

-2-3k2

3k

．
∴

-2-3k2

3k

•k=-1，
解得k=±

3

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、中點坐標公式、相互垂直的直線與斜率之間的關系、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．