Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分別是PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；    
（2）證明：面PDC⊥面PAD；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）確定出EF∥AP，運用判斷定理可證明．（2）抓住CD⊥AD，CD⊥面PAD，運用面面垂直的定理可證明．（3確定）PO為四棱錐P-ABCD的高．
求出PO=1，運用體積公式V=

1

3

×PO×AB×AD求解即可．

解答： 證明：（1）如圖，連接AC，四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點，
∴AC必過F，
又E是PC中點，所以EF∥AP，
∵EF在面PAD外，PA在面PAD內，
∴EF∥面PAD．
證明：（2）∵平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，
面PAD∩面ABCD=AD
又AD?面PAD，∴CD⊥面PAD，
又CD在面PCD內，∴面PCD⊥面PAD．
解：（3）取AD中點O，連接PO，因為平面PAD⊥平面ABCD及△PAD為等腰
直角三角形，所以PO⊥面ABCD，
即PO為四棱錐P-ABCD的高．
∵AD=2，∴PO=1，
∴V=

1

3

×PO×AB×AD=

2

3

．

點評：本題考查了空間直線，平面的垂直，平行問題，求解幾何體的體積，屬于中檔題，關鍵是運用好定理，抓住條件．