Question

10．在銳角△ABC中，sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，cosC=$\frac{5}{7}$，BC=7，若動點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則點P軌跡與直線AB，AC所圍成的封閉區域的面積（　　）

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據向量加法的幾何意義得出P點軌跡，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面積，從而求出圍成封閉區域的面積．

解答 解：取AB的中點D，連結CD．則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三點共線．
∴P點軌跡為直線CD．
在△ABC中，cosA=$\frac{1}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
由正弦定理得$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}$=$\frac{AB}{\frac{2\sqrt{6}}{7}}$，解得AB=5．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×7×$$\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$．
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，正弦定理解三角形，屬于中檔題．