Question

19．已知數列{a_n}是以t為首項，以2為公差的等差數列，數列{b_n}滿足2b_n=（n+1）a_n．若對n∈N^*都有b_n≥b₄成立，則實數t的取值范圍是[-18，-14]．

Answer 1

分析 依題意，可求得b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）a_n=（n+1）（2n+t-2），分離參數t，得到t（n-4）≥-2（n-4）（n+4），再對n-4=0，n-4＜0，n-4＞0分類討論，即可求得實數t的取值范圍．

解答 解：∵a_n=t+（n-1）×2=2n+t-2，
∴2b_n=（n+1）a_n=（n+1）（2n+t-2），
∵對n∈N^*都有b_n≥b₄成立，
即$\frac{1}{2}$（n+1）（2n+t-2）≥$\frac{1}{2}$（4+1）（2×4+t-2），
整理得：t（n-4）≥32-2n²=-2（n-4）（n+4），
若n=4，則0≥0，恒成立，故t∈R①；
若1≤n＜4，則t≤-2（n+4）_min=-2（3+4）=-14②；
若n＞4，則t≥-2（n+4）_max=-2（5+4）=-18③，
綜合①②③，若對n∈N^*都有b_n≥b₄成立，則-18≤t≤-14，
故答案為：[-18，-14]．

點評 本題考查數列遞推式，依題意，分離參數t，得到t（n-4）≥-2（n-4）（n+4）是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．