Question

7．設定義在R上的函數f（x），對于任意實數m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1，則不等式f（x²）•f（2x-3）＞1的解集是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （-3，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 設x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數f（x）在R上單調遞減，由函數的單調性得出不等式，解得即可．

解答 解：設x₂＞x₁則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1．
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函數f（x）是R上的減函數
所以，函數f（x）在R上單調遞減．
令m=0，n=0則f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
∵f（x²）•f（2x-3）＞1
∴f（x²+2x-3）＞f（0），
又函數f（x）是R上的減函數，
∴x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
故原不等式的解集為（-3，1）．
故選B．

點評 本題主要考查了抽象函數表達式反映函數性質及抽象函數表達式的應用，函數單調性的定義及其證明，利用函數性質和函數的單調性解不等式的方法，轉化化歸的思想方法．