Question

2．已知0＜a＜1，函數f（x）=log_a（a^x-1）
（I）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若m滿足f（1-m）≥f（1-m²），求m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據對數函數的性質求出函數的定義域即可；
（Ⅱ）根據復合函數同增異減的原則，結合換元法判斷出f（x）的單調性即可；
（Ⅲ）根據函數的單調性以及對數函數的性質得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由a^x-1＞0，得a^x＞1，
因為0＜a＜1，所以x＜0，
所以f（x）定義域為（-∞，0）…（4分）
（Ⅱ）設y=log_aU，U=a^x-1
因為0＜a＜1，y=log_aU是減函數，U=a^x-1是減函數，
所以$f（x）={log_a}（{a^x}-1）$是（-∞，0）上的增函數    …（8分）
（Ⅲ）由（2）知f（x）是（-∞，0）上的增函數，
所以$\left\{\begin{array}{l}1-m＜0\\ 1-{m^2}＜0\\ 1-m≥1-{m^2}\end{array}\right.$，解得：m＞1…（13分）

點評 本題考查了對數函數的性質，考查函數的單調性問題，是一道中檔題．