Question

6．已知函數$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}+cx（a≠0）$與g（x）=xlnx．
（1）若f（x）的減區間是（1，3），且f'（x）的最小值為-1求f（x）的解析式；
（2）當a=1，c=2時，若函數ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零點，求實數b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導函數，根據f（x）的減區間是（1，3），且f'（x）的最小值為-1，可得關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則函數解析式可求；
（2）把a=1，c=2代入函數解析式，得到ϕ（x）=f'（x）+g（x），把函數ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零點轉化為$b=-lnx-x-\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有根．利用導數求出h（x）=$-lnx-x-\frac{2}{x}$（x＞0）的最大值得答案．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}+cx（a≠0）$，得f′（x）=ax²+bx+c．
f（x）的減區間是（1，3），
∴不等式ax²+bx+c＜0的解集為（1，3），又f'（x）的最小值為-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{4=-\frac{b}{a}}\\{3=\frac{c}{a}}\\{4a+2b+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x$；
（2）當a=1，c=2時，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{b}{2}{x}^{2}+2x$，f′（x）=x²+bx+2，
又g（x）=xlnx，
∴ϕ（x）=f'（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，
函數ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零點，即x²+bx+2+xlnx=0在（0，+∞）上有根．
∴$b=-lnx-x-\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有根．
令h（x）=$-lnx-x-\frac{2}{x}$（x＞0），h′（x）=$-\frac{1}{x}-1+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{-{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$．
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴h（x）的極大值也是最大值為h（1）=-3．
又當x→+∞時，h（x）→-∞．
∴b≤-3，則實數b的最大值為-3．

點評 本題考查函數解析式的求解及常用方法，考查利用導數研究函數的單調性，訓練了函數零點的判定，是中檔題．