Question

16．點P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x≥0{，_{\;}}y≥0\end{array}\right.$所表示的區域內，則$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，化簡目標函數利用斜率的范圍，求解目標函數的范圍即可．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x≥0{，_{\;}}y≥0\end{array}\right.$所表示的區域如圖：
則$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}}$，$\frac{y}{x}$∈[0，+∞）．
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$≥2，當且僅當x=y是取等號，則$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最大值為：$\sqrt{2}$．
當y=0時，則$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最小值為：1．
所以$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：[1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，考查數形結合以及計算能力．