Question

12．已知$tan（{x+\frac{π}{4}}）=\frac{1+tanx}{1-tanx}$，y=tanx的周期T=π，函數(shù)y=f（x）滿足$f（{x+a}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，x∈R，（a是非零常數(shù)），則函數(shù)y=f（x）的周期是4|a|．

Answer 1

分析 由f（x+a）的關(guān)系式，將x換為x+a，可得f（x+2a），再將x換為x+2a，可得f（x+4a）=f（x），由周期函數(shù)的定義，即可得到所求周期．

解答 解：函數(shù)y=f（x）滿足$f（{x+a}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，x∈R，
可得f（x+2a）=$\frac{1+f（x+a）}{1-f（x+a）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=$\frac{2}{-2f（x）}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
即有f（x+4a）=-$\frac{1}{f（x+2a）}$=f（x），
則函數(shù)y=f（x）的最小正周期為4|a|．
故答案為：4|a|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期的求法，注意運(yùn)用周期函數(shù)的定義，以及賦值法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．