Question

11．已知數列{log₂（a_n+1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=1，a₃=7．求：
（Ⅰ）數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 數列{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數列{log₂（a_n+1）}的公差為d．由a₁=1，a₃=7可求d，由等差數列的通項公式可求log₂（a_n+1），進而可求a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的通項公式和分組求和法進行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）設等差數列{log₂（a_n+1）}的公差為d．
由a₁=1，a₃=7得log₂8=log₂2+2d，即d=1．
所以log₂（a_n+1）=1+（n-1）×1=n，
即${a_n}+1={2^n}$，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n$=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評 本題主要考查數列通項公式和前n項和的求解，利用分組求和法是解決本題的關鍵．