Question

20．已知等差數列{a_n}滿足：a₃=3，a₅+a₇=12，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；     （2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₃=3，a₅+a₇=12，
∴a₁+2d=3，2a₁+10d=12，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．