Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，且 c=2，$∠C=\frac{π}{3}$，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知及三角形內角和定理兩角和的正弦公式，sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，根據角的范圍求出得A=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$，分類討論，分別求出直角三角形邊長，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（$\frac{2π}{3}$-2A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin$\frac{2π}{3}$cos2A-cos$\frac{2π}{3}$sin2A=2sin2A，
∴$\frac{3}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$
當A=$\frac{π}{6}$時，B=$\frac{π}{2}$，
∵c=2，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當A=$\frac{π}{2}$時，B=$\frac{π}{6}$，
∵c=2，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
綜上所述△ABC的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，兩角和差的正弦公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，熟練掌握相關公式及定理是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．