Question

10．在等差數列{a_n}中，a₂=6，a₃+a₆=27．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}的通項公式為${b_n}={3^{n-1}}$，求數列{a_n•b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可知${a_n}•{b_n}=n•{3^n}$．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）•d．
由a₂=6，a₃+a₆=27，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=6\\ 2{a_1}+7d=27.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=3.\end{array}\right.$．
從而，a_n=3n．
（2）由（1）可知a_n=3n，
∴${a_n}•{b_n}=n•{3^n}$．${T_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n•{3^n}$①
$3{T_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n•{3^{n+1}}$②
①-②，得：$-2{T_n}=1×3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$
故${T_n}=\frac{{（2n-1）•{3^{n+1}}+3}}{4}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．