Question

8．已知一個由11人組成的評審委員會以投票方式從符合要求的甲，乙兩名候選人中選出一人參加一次活動．投票要求委員會每人只能選一人且不能棄選，每位委員投票不受他人影響．投票結果由一人唱票，一人統(tǒng)計投票結果．
（Ⅰ）設：在唱到第k張票時，甲，乙兩人的得票數(shù)分別為x_k，y_k，N（k）=x_k-y_k，k=1，2，…，11．若下圖為根據(jù)一次唱票過程繪制的N（k）圖，
則根據(jù)所給圖表，在這次選舉中獲勝方是誰？y₇的值為多少？圖中點P提供了什么投票信息？
（Ⅱ）設事件A為“候選人甲比乙恰多3票勝出”，假定每人選甲或乙的概率皆為$\frac{1}{2}$，則事件A發(fā)生的概率為多少？
（Ⅲ）若在不了解唱票過程的情況下已知候選人甲比乙3票勝出．則在唱票過程中出現(xiàn)甲乙兩人得票數(shù)相同情況的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）因縱軸表示每次唱票時甲的得票數(shù)減乙的得票數(shù)，故從圖表可看出，唱票順序為甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙，由此能求出結果．
（Ⅱ） 若事件A“候選人甲比乙恰多3票勝出”發(fā)生，由甲乙得票共11張，故甲得7票，乙得4票，由每位委員投票不受他人影響，且每人投甲的概率為$\frac{1}{2}$，能求出事件A發(fā)生的概率．
（Ⅲ）設事件B為“在已知條件下，在唱票過程中出現(xiàn)甲乙兩人得票數(shù)相同情況”，根據(jù)第一問的分析可知，如果只知道選舉結果，則在生成這種結果的過程中存在兩人選票一樣的可能．由第一問提供的圖表可看出，由于結果中甲的得票數(shù)為7高于乙的得票數(shù)4，故當?shù)谝粡堖x票為乙時，散點圖中一定存在點在橫軸上，由此能求出事件B的概率．

解答 解：（Ⅰ）因縱軸表示每次唱票時甲的得票數(shù)減乙的得票數(shù)
故從圖表可看出，唱票順序為甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙
故甲勝出（本結論可由第11個點的位置馬上就可判斷甲贏，如果最后一個點在橫軸下，則乙贏），
y₇=4（從圖上看第7個點在上升段，應是甲得一票，而之前的下降段，從第二點算起共4個點，故都是乙得票）
圖中點P從位置上看意味著x₄-y₄=0，即甲乙第4輪唱票后得票數(shù)相同．（答案為各得2票也正確）．
（Ⅱ） 若事件A“候選人甲比乙恰多3票勝出”發(fā)生，
由甲乙得票共11張，故甲得7票，乙得4票，
因每位委員投票不受他人影響，且每人投甲的概率為$\frac{1}{2}$，
故事件A發(fā)生的概率$p（A）=C_{11}^4{（\frac{1}{2}）^7}{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{165}{1024}$．
（Ⅲ）設事件B為“在已知條件下，在唱票過程中出現(xiàn)甲乙兩人得票數(shù)相同情況”，
根據(jù)第一問的分析可知，如果只知道選舉結果，則在生成這種結果的過程中存在兩人選票一樣的可能．
由第一問提供的圖表可看出，由于結果中甲的得票數(shù)為7高于乙的得票數(shù)4，
故當?shù)谝粡堖x票為乙時，散點圖中一定存在點在橫軸上，
即出現(xiàn)兩人得票相等的情況，這樣的點圖一共有$C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^3$種（即10位評委里再選3位投給乙）
當?shù)谝粡堖x票為甲時，散點圖可能有點在橫軸上，也可能無點在橫軸上，如下圖所示的兩種投票可能：

而圖二的每一種情況對于第一張選票為乙時的情況一一對應，（最后一次票數(shù)相等前圖形關于橫軸對稱，最后一次票數(shù)相等后圖形重合）
故當?shù)谝粡堖x票為甲時出現(xiàn)兩人得票相等情況的點圖同樣為$C_{10}^3$種
而所有與唱票情況對應的散點圖共$C_{11}^4$種
故事件B的概率為$p（B）=\frac{{2C_{10}^3}}{{C_{11}^4}}=\frac{8}{11}$．

點評 本題考查概率的求法及應用，涉及到n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率的計算公式、排列組合等基礎知識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．