Question

已知函數(shù)y=cos²x+2psinx+q有最大值6和最小值3，求實(shí)數(shù)p，q的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,分類討論,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先令sinx=t將y=cos²x+2psinx+q轉(zhuǎn)化為關(guān)于t且t∈[-1，1]的一元二次函數(shù)，然后求出其對(duì)稱軸，再對(duì)p的值進(jìn)行討論從而可確定函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)其最值可求出p，q的值．

解答： 解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
則y=1-sin²x+2psinx+q
y=-（sinx-p）²+p²+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，
∴y=-（t-p）²+p²+q+1，對(duì)稱軸為t=p，
當(dāng)p＜-1時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，
y_max=y|_t=-1=（-1-p）²+p²+q+1=6，y_min=y|_t=1=（1-p）²+p²+q+1=3，
得p=

3

4

，與p＜-1矛盾；
當(dāng)p＞1時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，
y_max=y|_t=1=2p+q=6，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，
得p=

3

4

，與p＞1矛盾；
當(dāng)-1≤p≤1時(shí)，y_max=y|_t=p=p²+q+1=6，
再當(dāng)p≥0，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，得p=

3

-1，q=1+2

3

；
當(dāng)p＜0，y_min=y|_t=1=2p+q=3，得p=1-

3

，q=1+2

3

．
∴p=±（

3

-1），q=1+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和一元二次函數(shù)的單調(diào)性以及最值的問題．考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．