Question

函數f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

（x∈R），ω＞0，函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）的圖象和f（x）的圖象關于點M（

2π

3

，0）對稱，求g（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，通過周期公式即可求值；
（Ⅱ）通過函數g（x）和函數f（x）關于點（

2π

3

，0）對稱，求出函數g（x）的表達式，利用余弦函數的單調減區間求出函數的單調增區間．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

=sin2ωx+2

3

×

1+cos2ωx

2

-

3

=2sin（2ωx+

π

3

）
∵T=

2π

2ω

=π
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）（Ⅱ）因為函數g（x）和函數f（x）關于點（

2π

3

，0）對稱，
所以g（x）=0-f（

π

3

-x）=-2sin[2（

π

3

-x）+

π

3

]=-2sin2x
由不等式2kπ+

π

2

≤2x≤

3π

2

+2kπ，得到x∈[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z
所以函數g（x）的單調增區間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，兩角和的正弦函數的應用，函數的對稱性，單調區間的求法，考查計算能力．