Question

已知數列{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，若S₄=10，S₁₃=91．
（1）求S_n；
（2）若數列{M_n}滿足條件：M₁=S_t1，當n≥2時，M_n=S_tn-Stn-1，其中數列{t_n}單調遞增，且t₁=1，t_n∈N^*．
①試找出一組t₂，t₃，使得M₂²=M₁•M₃；
②證明：對于數列{a_n}，一定存在數列{t_n}，使得數列{M_n}中的各數均為一個整數的平方．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用已知條件，列出方程組，直接求解首項與公差，然后求S_n；
（2））①通過M22=M1•M3，通過t₂=2，3，4分別求解推出t₃=13，即可．
②由①，推出一般的取tn=1+3+32+…+3n-1=

3n-1

2

，通過M_n=Stn-Stn-1，化簡整理，得到M_n為一整數平方．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由S₄=10，S₁₃=91，得

4a1+ 4×3 2 d=10 13a1+ 13×12 2 d=91

，…（2分）
解得

a1=1 d=1

，
所以Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n2+n

2

…（4分）
（2）①因為M₁=S₁=1，
若t₂=2，M₂=S₂-S₁=3-1=2，M3=St3-S2=

t3(t3+1)

2

-3，
因為M22=M1•M3，
所以

t3(t3+1)

2

-3=4，t₃（t₃+1）=14，此方程無整數解； …（6分）
若t₂=3，M₂=S₃-S₁=6-1=5，M3=St3-S3=

t3(t3+1)

2

-6，
因為M22=M1•M3，
所以

t3(t3+1)

2

-6=25，t₃（t₃+1）=62，此方程無整數解；…（8分）
若t₂=4，M₂=S₄-S₁=10-1=9，M3=St3-S4=

t3(t3+1)

2

-10，
因為M22=M1•M3，
所以

t3(t3+1)

2

-10=81，t₃（t₃+1）=182，解得t₃=13，
所以t₂=4，t₃=13滿足題意…（10分）
②由①知t₁=1，t₂=1+3，t3=1+3+32，則M₁=1，M2=32，M3=92，
一般的取tn=1+3+32+…+3n-1=

3n-1

2

，…（13分）
此時Stn=

3n-1 2 (1+ 3n-1 2 )

2

，Stn-1=

3n-1-1 2 (1+ 3n-1-1 2 )

2

，
則M_n=Stn-Stn-1=

3n-1 2 (1+ 3n-1 2 )

2

-

3n-1-1 2 (1+ 3n-1-1 2 )

2

=(3n-1)2，
所以M_n為一整數平方．
因此存在數列{t_n}，使得數列{M_n}中的各數均為一個整數的平方．…（16分）

點評：本題考查是與函數的綜合應用，分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．