Question

6．已知直線l過點P（2，1）
（1）點A（-1，3）和點B（3，1）到直線l的距離相等，求直線l的方程；
（2）若直線l與x正半軸、y正半軸分別交于A，B兩點，且△ABO的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直線斜率不存在，點A，B到直線l的距離不相等．故直線l的斜率一定存在，設直線l的方程為y=k（x-2）+1，代入點到直線距離公式，求出k值，可得答案；
（2）由題可設l的截距式方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，結合已知構造方程，可得a，b的值，進而得到答案．

解答 解：（1）若直線斜率不存在，即x=2，此時，點A，B到直線l的距離不相等．
故直線l的斜率一定存在，
設直線l的方程為y=k（x-2）+1，即kx-y-2k+1=0，
由題意得：$\frac{|-k-3-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
解之得：k=-$\frac{1}{2}$或k=-1，
故所求直線方程為x+2y-4=0或x+y-3=0
（2）由題可知，直線l的橫、縱截距a，b存在，且均為正數，
則l的截距式方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，又l過點（2，1），△ABO的面積為4，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\ \frac{1}{2}ab=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\end{array}\right.$，
故l方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，
即x+2y-4=0．

點評 本題考查的知識點是直線方程的求法，點到直線的距離公式，方程思想，難度中檔．