Question

9．x為第三象限角，則$\frac{{1+cos2x+4{{sin}^2}x}}{sin2x}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由二倍角的余弦公式和基本不等式，化簡整理，計算即可得到所求最小值．

解答 解：$\frac{{1+cos2x+4{{sin}^2}x}}{sin2x}$=$\frac{2co{s}^{2}x+4si{n}^{2}x}{2sinxcosx}$=$\frac{cosx}{sinx}$+$\frac{2sinx}{cosx}$，
由x為第三象限角，可得sinx＜0，cosx＜0，
由基本不等式可得，$\frac{cosx}{sinx}$+$\frac{2sinx}{cosx}$≥2$\sqrt{\frac{cosx}{sinx}•\frac{2sinx}{cosx}}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{cosx}{sinx}$=$\frac{2sinx}{cosx}$時，取得最小值2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查三角函數的最值的求法，注意運用二倍角公式和基本不等式化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．