Question

14．如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′D′的中點為F，連AF，C′F，得AFC′E為平行四邊形，從而AF∥C′E，由此能證明C′E∥面AB′D′．
（2）取BC中點為G，則AD，DG，DD′兩兩垂直，以D為原點，DA、DG、DD′分別為x，y，z軸m建立空間直角坐標系，利用向量法能求出面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖取B′D′的中點為F，
連AF，C′F，得AFC′E為平行四邊形．
∴AF∥C′E，
又AF?面AB′D′，C′E?面AB′D′，
∴C′E∥面AB′D′．
解：（2）∵ABCD為菱形，
且∠DCB=60°，
取BC中點為G，
則AD，DG，DD′兩兩垂直，
以D為原點，DA、DG、DD′分別為x，y，z軸m建立空間直角坐標系如圖．
由棱長為2得A（2，0，0），
B′（1，$\sqrt{3}$，2），D′（0，0，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{D{D}^{'}}$=（0，0，2），
設平面AB'D'的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}^{'}}=-x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
又面ABD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設面AB'D'與面ABD所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查面線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．