Question

20．已知a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則C₁的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 由題意可知：橢圓C₁的離心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，雙曲線C₂的離心率為e₂=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，由e₁•e₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入整理可知：a⁴=4b⁴，即a²=2b²，由橢圓C₁的離心率：e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得C₁的離心率．

解答 解：橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，焦點在x軸上，
離心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
離心率為e₂=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴e₁•e₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即，$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，兩邊平方，整理得：a⁴=4b⁴，
∴a²=2b²，
則橢圓C₁的離心率：e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的離心率公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題．