Question

【題目】已知和是橢圓的兩個焦點，且點在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線（m＞0）與橢圓C有且僅有一個公共點，且與x軸和y軸分別交于點M，N，當△OMN面積取最小值時，求此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

(1)由和是橢圓的兩個焦點，且點在橢圓C上，求出a,b，即可得出橢圓方程；

(2)聯立直線和橢圓方程可得,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、基本不等式、橢圓性質，結合已知條件即可求出結果.

（1）∵和是橢圓的兩個焦點，且點在橢圓C上，∴依題意，，又，故．由得b2=3．

故所求橢圓C的方程為．

（2）由，消y得，

由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，

，整理得．

由條件可得，，．

所以．①

將代入①，得．

因為，所以，

當且僅當，則，即時等號成立，有最小值．

因為，所以，又，解得．

故所求直線方程為或．