Question

已知函數f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數．
（1）求實數a和f（-2）的值；
（2）判斷f（x）在其定義域上的單調性，并用函數單調性的定義加以證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知f（0）=

1

2

+a=0，從而解出a，再求f（-2）；
（2）先判斷函數的單調性，再證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數，
∴f（0）=

1

2

+a=0；
故a=-

1

2

；
經檢驗，f（x）=

2x

2x+1

-

1

2

是奇函數，
f（-2）=

1

5

-

1

2

=-

3

10

；
（2）f（x）在其定義域上是增函數，證明如下，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0；
故f（x）在其定義域R上是增函數．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與證明及應用，屬于基礎題．