Question

【題目】已知函數，.

（1）當為何值時，直線是曲線的切線；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】

（1）先令，求其導數，設切點為，由直線是曲線的切線，得到，用導數的方法研究函數的單調性，即可求出結果；

（2）先令，對其求導，分別討論和兩種情況，結合題意，即可得到結果.

（1）令，，

設切點為，則，，則.

令，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以.

（2）令，則，

①當時，，所以函數在上單調遞減，

所以，所以滿足題意.

②當時，令，得，

所以當時， ，當時，.

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（ⅰ）當，即時，在上單調遞增，

所以，所以，此時無解.

（ⅱ）當，即時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

所以 .

設 ，則，

所以在上單調遞增,

，不滿足題意.

（ⅲ）當，即時，在上單調遞減，

所以，所以 滿足題意.

綜上所述：的取值范圍為.