Question

【題目】已知橢圓過點，是該橢圓的左、右焦點，是上頂點，且是等腰直角三角形.

（1）求的方程；

（2）已知是坐標原點，直線與橢圓相交于兩點，點在上且滿足四邊形是一個平行四邊形，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將點代入橢圓方程，結合，即可得出橢圓方程；

（2）當直線的斜率不存在時，利用橢圓方程得出；當直線的斜率存在時，設出直線的方程，并代入橢圓方程，利用韋達定理得出，由中點坐標公式得出點坐標，代入橢圓方程得出，由弦長公式化簡得出，再由，確定的最大值.

（1）由已知可得：結合，解得

∴橢圓方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，方程為，代入橢圓得，此時；

②當直線的斜率存在時，方程為

聯立，整理得：

，即

設，由于四邊形是平行四邊形

∴

∴，故

又點在橢圓上，將其坐標代入橢圓方程，整理得：

因此

顯然，當時，取得最大值，且有.

綜上，取得最大值.