Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實數），求λ2+μ2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）由題意可得b＝1，運用離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b，進而得到橢圓方程；

（2）求得A的坐標，設P（x1，y1），D（x0，y0），運用向量共線坐標表示，結合條件求得P的坐標，代入橢圓方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．

（1）因為短軸長2b＝2，所以b＝1，又離心率e＝，且a2﹣b2＝c2，

解得a＝，c＝1，則橢圓C的方程為+y2＝1；

（2）由（1）可得點 A（﹣，0），設P（x1，y1），D（x0，y0），則y1＝k1x1，y0＝k2x0，

由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），

即有x0＝，k1x1＝y1＝y0＝k2x0＝k2（x1﹣），

兩邊同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），

解得x1＝，將P（x1，y1）代入橢圓方程可得λ2＝，

由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．