Question

【題目】設函數，其中.函數的圖像在點處的切線與函數的圖像在點處的切線互相垂直.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求f（x）的導函數，代入g（x），對函數g（x）求導，結合函數f（x）的圖象在點A處的切線與g（x）的圖象在點B處的切線互相垂直列式求t值；（Ⅱ）設函數F（x）＝kg（x）﹣2f（x）＝2kex（x+1）﹣2x2﹣8x﹣4，（x≥﹣2），求其導函數，分類求得函數最小值，可得k的取值范圍．

（Ⅰ）由得，.

于是，所以.

函數的圖象在點處的切線與函數的圖象在點處的切線互相垂直，所以，即

（Ⅱ），.

設函數=（），

則=.

由題設可知，即.令 得 ， .

（1）若，則，此時，，，

，即在單調遞減，在單調遞增，所以在取

最小值.

而

當時,，即恒成立.

②若則，此時

在單調遞增，而 ，

當時,，即恒成立.

③若則，此時 .

當時， 不能恒成立.

綜上所述，的取值范圍是