Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范圍．
（2）當m=4時，若圓C與直線x+ay-4=0交于M，N兩點，且

CM

⊥

CN

，求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：直線與圓

分析：（1）把圓C的方程化為標準形式，根據半徑大于零，求得m的范圍．
（2）由題意可得，弦心距等于半徑的

2

2

倍，再利用點到直線的距離公式，求得a的值．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-2x-4y+m=0 即 圓C：（x-1）²+（y-2）² =5-m，∴m＜5．
（2）當m=4時，∴圓C：（x-1）²+（y-2）² =1，
圓心C：（1，2），半徑r=1，
∵CM⊥CN，∴弦心距d=

2

2

r，即

|1+2a-4|

1+a2

=

2

2

，化簡：7a²-24a+17=0，
求得a=1，或 a=

17

7

．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于基礎題．