Question

若函數y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P處的切線平行于函數y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q處的切線，則直線PQ的斜率為（　　）

• A、

  8

  3

• B、2
• C、

  7

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：分別設出P，Q的坐標，利用導數求出兩函數在P，Q的導數，由三角函數的有界性及基本不等式求最值得到使兩切線平行時的斜率，進一步求得P，Q的坐標，然后利用兩點求斜率得答案．

解答： 解：由y₁=2sinx（x∈[0，2π）），得y1′=2cosx，
設P（x₁，sinx₁），
則y1′|x=x1=2cosx1，
∵x₁∈[0，2π），
∴2cosx₁∈[-2，2]．
由y₂=2

x

（

x

3

+1），得
y2′=(2

x

)′(

x

3

+1)+(2

x

)(

x

3

+1)′=

1

x

(

x

3

+1)+

2

3

x

=

x

+

1

x

．
設Q（x2，2

x2

(

x2

3

+1)）
則y2′|x=x2=

x2

+

1

x2

≥2．
∵函數y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P處的切線平行于函數y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q處的切線，
∴2cosx₁=2，解得x₁=0，P（0，0）．

x2

+

1

x2

=2，解得：x₂=1，Q（1，

8

3

）．
∴kPQ=

8 3 -0

1-0

=

8

3

．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數的最值，訓練了利用直線上兩點的坐標求直線的斜率，是中檔題．