Question

11．如圖，已知圓C的方程為x²+y²=1，P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一點，過P作圓的兩條切線，切點為A，B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為（　　）

• A． [0，$\frac{3}{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [1，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]

Answer 1

分析 由圓切線的性質，即與圓心切點連線垂直設出一個角，通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數量積公式表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，利用三角函數的二倍角公式化簡函數，通過換元，再利用基本不等式求出最值．

解答 解：設PA與PB的夾角為2α，α∈（0，$\frac{π}{6}$]．
則|PA|=PB|=$\frac{1}{tanα}$，
∴y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2α=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$•cos2α
=$\frac{1+cos2α}{1-cos2α}•cos2α$．
記cos2α=u，u∈[$\frac{1}{2}$，1）則y=$\frac{u（1+u）}{1-u}$=-3+（1-u）+$\frac{2}{1-u}$≥2$\sqrt{2}$-3，
當且僅當u=$\sqrt{2}-1$時取等號，但是$\sqrt{2}-1∉$$[\frac{1}{2}，1）$，
由雙勾函數的性質可知，x∈$[\frac{1}{2}，1）$，函數的增函數，
可得y≥$\frac{3}{2}$，此時P在雙曲線的頂點位置．
u→1時，y→+∞．
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為：[$\frac{3}{2}$，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查了圓的切線的性質、三角函數的二倍角公式、向量的數量積公式、基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．