Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}+4x，x≤0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，則實數a的取值范圍是[-6，0]．

Answer 1

分析 由題意，|f（x）|≥ax-1恒成立，等價于y=ax-1始終在y=|f（x）|的下方，即直線夾在與y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直線，和y=-1之間，所以轉化為求切線斜率．

解答 解：由題意，|f（x）|≥ax-1恒成立，等價于y=ax-1始終在y=|f（x）|的下方，即直線夾在與y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直線，和y=-1之間，所以轉化為求切線斜率．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x}\\{y=ax-1}\end{array}\right.$，可得x²-（4+a）x+1=0①，
令△=（4+a）²-4=0，解得a=-6或a=-2，
a=-6時，x=-1成立；a=-2時，x=1不成立，
∴實數a的取值范圍是[-6，0]．
故答案為：[-6，0]．

點評 本題考查分段函數，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，問題轉化為直線夾在與y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直線，和y=-1之間是關鍵．