Question

8．已知函數f（x）=x²+2ax+a²-1．
（1）若對任意的x∈R均有f（1-x）=f（1+x），求實數a的值；
（2）當x∈[-1，1]時，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判斷g（a）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）由f（1-x）=f（1+x），得到對稱軸為x=1，即可求出a的值，
（2）根據二次函數的性質，分類討論即可求出g（a），再根據奇偶性的定義即可判斷．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²+2ax+a²-1對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
∴函數的對稱軸x=-a=1，
∴a=-1，
（2）∵f（x）=x²+2ax+a²-1=（x+a）²-1，其對稱軸為x=-a，
當-a≤-1時，即a≥1時，函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，故g（a）=f（x）_min=f（-1）=a²-2a，
當-1＜-a＜1時，即-1＜a＜1時，故g（a）=f（x）_min=f（a）=-1，
當-a≥1時，即a≤-1時，函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，故g（a）=f（x）_min=f（1）=a²+2a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a，a≥1}\\{-1，-1＜a＜1}\\{{a}^{2}+2a，a≤-1}\end{array}\right.$，
∵g（-a）=g（a），
∴g（a）為偶函數

點評 本題考查函數的單調性與奇偶性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題