Question

閱讀下列材料：關于x的方程

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．
（1）請觀察上述方程與解的特征，關于x的方程

m

x

+

x

m

=2與上述方程有什么關系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解：的概念進行論證；
（2）由上述的觀察、比較、猜想、驗證，可得到以下結論：如果方程的左邊是一個未知數倒數的a倍與這個未知數的

1

a

的和等于2，那么這個方程的解是x=a，請用這個結論解關于x的方程：x²+

1

x2-a

=2+a（a≥-1）．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）由已知中閱讀材料：關于x的方程

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．歸納可得方程

m

x

+

x

m

=2的解是x=m，利用方程解的概念，代入可證明結論；
（2）由（1）中結論方程

m

x

+

x

m

=2可化為：方程

m

x

=1，則方程：x²+

1

x2-a

=2+a（a≥-1），可化為x²-a+

1

x2-a

=2，即x²-a=1，進而可得答案．

解答： 解：（1）由已知中，

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，
-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．
…
歸納可得方程

m

x

+

x

m

=2的解是x=m，
將x=m代入得：
左邊=

m

m

+

m

m

=1+1=2，
故m是方程

m

x

+

x

m

=2的解，
（2）x²+

1

x2-a

=2+a可化為：x²-a+

1

x2-a

=2，
由（1）中結論可得x²-a=1，
即x²=a+1，
∴x=±

a+1

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．