Question

已知函數f（x）=

3

sinx+cosx+1，其中x∈[0，

2π

3

]，求：
（1）函數f（x）的最值并求出相應的x的取值；
（2）函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1由x∈[0，

2π

3

]，可得x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，可求當x=

π

6

時，f（x）_min=2；x=

π

3

時，f（x）_max=3；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinx+cosx+1=2sin（x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1
∴當x=

π

6

時，f（x）_min=2sin（0+

π

6

）+1=2
當x=

π

3

時，f（x）_max=2sin（

π

3

+

π

6

）+1=3
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z
 所以函數f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．