Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在實數(shù)，使得，求正實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出定義域以及，分類討論，求出大于0和小于0的區(qū)間，從而得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性，分類討論，分別求出和以及函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間以及最小值，從而求出的范圍。

（1）的定義域為，.

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由得：﹔由得：.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

①當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，

不符合題意；

②當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，解得：；

③當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，由，

解得：．

綜上所述：a的取值范圍是.