Question

2．已知A={x|x²+（p+2）x+1=0，x∈R}，且A∩{x|x＞0}=∅，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析 A∩R⁺=∅?A=∅，或方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，分別對兩種情況進行求解．

解答 解：∵A∩R⁺=∅?A=∅，或方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，
（1）當A=∅，即方程x²+（p+2）x+1=0無實數解，即△=（p+2）²-4＜0，
解不等式，得-4＜p＜0；
（2）當方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，
設方程的兩根為x₁，x₂，注意x₁•x₂=1，
說明x₁，x₂，同號則有$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\{x_1}+{x_2}≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\-（p+2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}p≥0，或p≤-4\\ p≥-2\end{array}\right.$，得p≥0．
滿足題意的p值集合為 （-4，0）∪[0，+∞），
即實數p的取值范圍為（-4，∞）．

點評 本題考查了集合的運算，考查了轉化思想，計算能力，屬于中檔題．