Question

已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-y²=13，（a＞0）交于兩點M，N，且OM⊥ON，求該雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；
（2）聯立直線方程和雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程利用根與系數關系得到M，N兩點的橫縱坐標的積，把OM⊥ON轉化為向量數量積求得a²，則雙曲線方程可求．

解答： 解：（1）設C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由

OC

=α

OA

+β

OB

，得
（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），
∴

x=α y=-2β

，即點C的軌跡方程為x+y=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立

x+y=1 x2 a2 -y2=13

，得（1-a²）x²+2a²x-14a²=0．
x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

14a2

a2-1

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2-1

+

14a2

a2-1

=

a2-1-2a2+14a2

a2-1

=

13a2-1

a2-1

．
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=

14a2

a2-1

+

13a2-1

a2-1

=

27a2-1

a2-1

=0．
即27a²-1=0，
∴a2=

1

27

．
∴雙曲線的方程27x²-y²=13．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用聯立直線方程與圓錐曲線方程，借助于根與系數關系求解，是中檔題．