Question

6．已知函數f（x）=（x+a）e^x，其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點A（0，a）處的切線l與直線y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）若?a∈[1，2]，函數f（x）在（b-e^a，2）上為增函數，求證：e²-3≤b＜e^a+2．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出a的值，從而求出A的坐標，直線斜率求出直線方程即可；
（2）得到b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，令g（a）=e^a-a-1，則g′（a）=e^a-1，求出g（a）的最大值，若要b≥e^a-a-1在[1，2]內恒成立，只需b≥e²-3即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+（x+a）e^x=（x+a+1）e^x，
則在A（0，a）處的切線的斜率為：f′（0）=a+1，
∵切線與直線平行，故a+1=|2a-2|，解得：a=3或a=$\frac{1}{3}$，
若a=3則A（0，3），f′（0）=4，
∴切線為：y-3=4（x-0），即y=4x+3，
若a=$\frac{1}{3}$，則A（0，$\frac{1}{3}$），f′（0）=$\frac{4}{3}$，
故切線方程是：y=$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$（x-0），
即y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{1}{3}$；
（2）證明：當?a∈[1，2]時，函數f（x）在（b-e^a，2）為增函數，
則在此范圍內，f′（x）=（x+a+1）e^x≥0恒成立，
∵e^x＞0，則x+a+1≥0，
∵a∈[1，2]，∴b-e^a+a+1≥0且b-e^a＜2，
故b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，
令g（a）=e^a-a-1，則g′（a）=e^a-1，
當a∈[1，2]時，g′（a）＞0，
∴g（a）在[1，2]遞增，
g（a）_max=g（2）=e²-2-1=e²-3，
∴若要b≥e^a-a-1在[1，2]內恒成立，
只需b≥e²-3即可，
綜上：e²-3≤b＜e^a+2．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．